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来 物理惊人自洽：有伽利略必有爱因斯坦？
岳东晓 2016-7-6 08:14
在《 物理无神圣：惯性系变换下能量守恒？ 》一文中，我试图对一个在科学网争论已久的问题盖棺定论。那就是在一个参照系下能量守恒，变换到另一个惯性系能量是否一定守恒？用下图中的例子，我们无可争辩的说明，答案是否定的。 在图中，m 从 h 高度滑下，到碗底的速度计算是中学物理 mgh = 1/2 m v^2,这是能量守恒方程，得出 v= (2gh)^(1/2)。但换到相对于M 以 -V匀速运动的参照系，在顶部是能量为 mgh + 1/2mV^2到碗底时 m 的动能是 mgh + 1/2mV^2 + m v* V。多出了一个不可忽略的mv*V 。这也是显然的事情。在地面实验室做上面的实验，能量守恒；如果坐在火车上看，能量就不守恒了。 当然我们如果考虑M是可以动的，算上M的动能变化，在静止参照系能量守恒，在运动惯性系看能量也守恒。结果令人深思点在于，如果M趋于无穷大，那么以 M为参照系 ，能量守恒的偏差可以忽略。这也是我们以地球为参照系，观察到能量守恒的原因。但一旦挪到相对于 M 匀速运动的参照系，能量就不守恒了，差别是 m v*V， 不可忽略。 怎么从 M 解释这一点呢？我在讨论中提到，这得用等效原理。下面具体分析一下。 当 m 从上面滑下时，存在向右的加速度 a, 那么 M的加速度为 -a m/M。根据等效原理，从M 看来有一个 ma/M 大小的水平方向的引力场，考虑这个等效引力场，无论从M看，还是从相对M匀速运动的参照系来看，能量应该都是守恒的。 当M极大， m/M 趋于零，而小球运动距离 d 有限、质量 m，这个等效引力场对小球做功 ~ m a m／Ｍ d，也就是趋于零；从Ｍ看来，自己是不动的，这个等效引力对自己没有做功。因此，从Ｍ的角度，能量守恒也就是小球的能量守恒。 但换到一个相对于　Ｍ　以速度-Ｖ匀速运动的参照系 M_V 看情况就不同了，M_V 参照系同样看到有一个　 a m/M的引力场，但在 M_V 看来，Ｍ在以速度V匀速运动，这个引力场对Ｍ做功为　～　- ( a m/M) *M* V t，这一项不再可以忽略。从 M_V 的角度，必须考虑等效场对 M 的做功能量才能守恒。其大小为 W_{等效场} = \int M g_{等效} \cdot ds \\ = - \int _0^{T} M (\frac{m}{M} a_{m} ) \cdot V dt = -m v_m *V 加上这一项，从M_V来看，能量就守恒了。
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来 物理无神圣：惯性系变换下能量守恒？
岳东晓 2016-7-3 07:17
记得以前我跟人在网上讨论，提到过物理无神圣（NotheoryissacredinPhysics）。一方面这是在针对已经确认的基本规律，另一方面也是指不能死记硬背、教条地套用一些看似放之四海而皆准的“真理”。以能量守恒为例，在经典力学里这是运动方程推导出来的结果：从动力学方程我们发现某个标量是不随时间变化的，称之为能量。 这个能量（包括动能、势能）概念在牛顿后100多年才出现，但能量守恒概念似乎被奉为圣经。 最近两天在科学网看到一个问题：一个理想的弹簧振子固定于墙上，来回振动，从室内人看，其机械能守恒；从一匀速运动火车上看，弹簧振子能量是否守恒。 这是一道中学物理题。 据说是北大物理系赵凯华（我上学时的系主任）写的某本中学物理书上的。答案是“能量不守恒”。原因是，从火车上看，弹簧固定点在移动，而且固定点有作用力，因此外力对弹簧振子系统做功不为零。 这个答案引发了广泛的反对意见，因为它似乎打破了某些人对能量守恒与惯性系变换的定式思维：一个惯性系下机械能守恒，另一个惯性系下机械能也应该守恒。加上弹簧振子势能是什么又引发一系列争论，什么正弦函数，问题越讲似乎越糊涂。其实类似问题在我那个 石头砸到车的问题中已经出现 了。为此，我举一个更简单的例子说明这个问题。下图中，一个质量为 m 的小球从一个光滑的碗上部滑下（初始速度为0），摩擦损耗为零；机械能守恒，在顶上势能为 mgh , 到碗底速度为 \sqrt{2gh} ，方向水平（为了下面讨论起见， 碗固定在M上，M又固定在地面，但目前不需要考虑）。 现在从一个以速度 V 匀速运动的观察者来看上面的现象： （1）开始：势能 mgh, 动能 1/2 mV^2, 总能量 E0 = mgh + 1/2mV^2; (2) 碗底：势能０，动能　１/２ｍ（ｖ＋Ｖ）＾２　＝　1/2 mv^2 + 1/2mV^2 + m v*V = mgh + 1/2mV^2 + m v*V = E0 + m v*V 因此从匀速运动的观察者看，小球到碗底时，系统总能量增加了 m v*V （其中的* 表示点乘），也就是说 系统的总能量是不守恒的 。这个大家没有异议吧？ 为什么会这样？在运动观察者看来，碗的支撑力对小球在水平方向做功了。 注意到 mv 是物体动量的变化 \Delta P （这是伽利略不变的），我们有 \Delta E = V \cdot mv = V \cdot \Delta P 我在《 外力做功的伽利略变换 》一文中给出了做功的伽利略变换公式： W^\prime = W + V \cdot \Delta P 。在静止参照系，碗对小球做功为0， 也就是说W=0，但碗的作用力导致小球动量变化为 mv，那么在运动参照系，碗对小球做的功是 V * mv 。除非 V与 v 垂直，这个碗对球的做功不为零。 喜欢动脑筋的同学们立刻会说，既然碗对球做功了，那么球的反作用力必然对碗做了相同的负功。这怎么回事？问题恰恰在于此，因为碗被固定，这个系统的动量是不守恒的。 在上图中，如果下面那个座子 M可以自由滑动（假设M与地面无摩擦），那么 m,M 构成的系统动量守衡，M的动量变化等于 m 的动量变化的负值，因此球对 碗+M做功为 -V * mv。考虑 m+碗+M 系统，总能量是守恒的。 注意，M可以是整个地球的质量。有兴趣的，可以具体在 静止参照系计算 m 与 M的速度，然后变换到到运动参照系，会发现总机械能是守恒的（注一）。 弹簧振子的问题很容易看出其总机械能在惯性系变换下是不守恒的：考虑物体在平衡点的情况，此时弹簧弹性势能为0，物体 m 速度为 v 或者 -v ，在运动参照系下 系统能量为 1/2 m (v+V)^2 或者 1/2 m (-v +V )^2，两个情况相差 2mv * V。 为什么在伽利略变换下，一个能量守恒的系统，能量不再守恒？ 从我们上面的分析看出，这是因为系统没有平移不变性，也就没有动量守恒。 注一： 考虑M可以滑动，m 滑到碗底速度为v, M 速度为 u。在静止参照系， mv + Mu =0 mgh = 1/2 mv^2+ 1/2 M u^2 解出， 换到速度为V的参照系，伽利略变换 系统总能量 代入上面的u,v， 得出 E= mgh + 1/2(m+M) V^2 由此可见，当M极大，以M作为参照系能量 近似 守恒 （误差为 m/M 量级），但一旦进行参照系变换，能量就不守恒了，因为M 并非真正的惯性系。 科学网链接：https://blog.sciencenet.cn/blog-684007-988304.html
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