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分享数学：球的体积公式（1）: 热度 5 岳东晓 2013-5-25 06:01; 昨天在网上看到一系列的文章，认为祖冲之计算圆周率的历史实际是清朝人戴震伪造的(搜索 "祖冲之戴震圆周率"）。对于这种说法，我的第一反应当然是非常抵制。否定祖冲之，等于否定中国古代数学部分成就。但仔细查看了相关论据，不能不承认，这是个疑点。质疑者们列出的主要理由如下： 1）明朝时西方圆周率计算结果就已经传入中国； 2）清朝以前的文献（史书、数学书籍）没有任何地方提到祖冲之的圆周率，宋朝与明朝数学家使用的圆周率大概是3.16; 3）对祖冲之圆周率的记载只见于戴震于清朝乾隆年间由修订的《隋书 ·律历志》，以及其他由戴震修订的数学著作。戴震生于1724年，在其出生前40年，欧洲数学已经进入了微积分广泛应用的阶段，而圆周率的计算已经达到上百位。球的体积公式，阿基米德在公元前两百多年已经得出。网上资料称祖冲之与其子也得出了球体积公式，但是这种说法都没有给出任何文献依据。即使晋代祖冲之确实算出了7位数圆周率、得出球体积公式，到宋朝、明朝用的圆周率是3.16。也不知如何计算球体积，也说明汉文明从汉朝以后就不断在走下坡路，祖冲之还继承发展了汉人的文明，但之后的中国人连祖宗算出来的圆周率都不知道了。先不管前人是什么时候得出的球体积公式，我们现在学会也不迟。下面我给出一个只用初中数学的证明。分两步，第一步证明球的表面积是4 pi 乘以球半径的平方，或者说球的表面积是同样半径的园面积的4倍。参看下图我们把球面切成一条一条细条，让我们看看阴影部分的面积是多少。这是一个环，半径是上图中的 EB，如果把它剪开，就是一个长度为 2*PI*EB的带子，这个带子的宽度并不是上图中的CB ，而是AB，换言之，这个环的面积是 2*pi * EB * AB 但是从上图看出角度1 与角度 2相等，也就是说三角形ABC与三角形OAD相似，因此 CB ： AB = DA： OA 由于切片很薄，我们有 DA=DC=EB，另外 CB=ED=h, OA = r 所以，h: AB = EB : OA = EB : r 所以，EB * AB = h * r 所以，那个阴影部分的环状面积是 2 *pi * r * h 也就是说，这个高为h的环的表面积等于一个高为h , 半径为球半径的圆柱表面积。因此，整个球的表面积等于一个高为 2*r , 半径为r 的圆柱表面积 = 2*r * 2* pi *r = 4 *pi * r^2 = 4\pi r^2 一个球可以视为以球心为顶点，半径r为高度的微小凌锥的叠加，而凌锥体积是其底面积乘以高度除以3，因此，球的体积是 4*pi * r^2 * r /3 = 4/3 pi * r^3 V= \frac{4\pi r^2 \times r }{3 }= \frac{4\pi}{3} r^3 当然了，如果用微积分，上诉圆面积计算就简单多了 A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2 \pi r \cos \theta r d\theta = 2\pi r^2 \sin\theta|_{-\pi/2}^{\pi/2} = 4\pi r^2; 6470 次阅读|6 个评论

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