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如果考虑腿的重量,上述公式的基本形式不变,但等价摩擦系数将得到一个 1/(1-r)的修正,其中 r = 单腿重/体重:
[ix]D= 2L \frac{\mu^\prime}{\sqrt{1+{\mu^\prime}^2}}, \mu^\prime= \mu/(1-r)[/ix]
以上简洁的公式抓住了核心的物理,与实验结果非常吻合。再细究下去的修正只有1%左右。只用初中物理能做到这一步,算是不错了。
我们看到这个式子就知道得到了一个合理的结果,因为它通过了sanity check,也就是精神检查
(1)摩擦系数为0,步长为0:人由静止向前走动需要水平方向的作用力,因此没有摩擦力是无法行走的。这一点我们的公式通过了;
(2)摩擦系数再大,你的步长也不可能超过两倍腿长, 这一点我们的公式也通过了;
(3)没有腿(腿长为0)不能走路,这一点我们也通过了。
老虎找来一篇分析走路问题的论文 http://wenku.baidu.com/view/39400c00b52acfc789ebc98d.html
这篇文章也得出了一个步长公式,
[ix]a_{max}[/ix]由[ix]k, \mu, h, b, \lambda[/ix] 等参数决定,让我把它写清楚点
[ix]a_{max}=\frac{\sqrt{4\mu^2h^2 -\frac{b^2}{(1+\lambda)^2}}}{1-k}[/ix]
其中 h为重心高度,b为身体宽度,[ix]k,\lambda[/ix]为两个正参数,具体是什么不必过于追究,我们只是对其进行sanity检查,也就是精神检查。
为了“精神检查”,我们试着代入几个数值看看?
1. 摩擦系数等于0
刘的最大步长公式得出[ix]a_{max}=\frac{\sqrt{-\frac{b^2}{(1+\lambda)^2}}}{1-k}[/ix]。这是个虚数,显然不及格(*)。
2. 摩擦系数等于2
根据这位刘教授的结论,
[ix]a_{max}\gt\sqrt{4\mu^2h^2 -b^2} = 2\mu h\sqrt{1 -(\frac{b}{2\mu h})^2} \approx 4 h[/ix],也就是得出步长为腿长的四倍以上。
3. 没腿能走路?
值得注意的是,刘教授的公式里根本没有腿长这个参数,而只有重心高度h,这本身就是一个问题。在上面我们权且根据实际情况令重心高度与腿长近似相等,但刘教授的公式如果正确,似乎会得出没腿也能走的结论。这并非完全没有可能,刘教授的模型里人的宽度为b, 可以想象,可以通过转动身体前行。但是在其公式中b对步长的贡献是负的,即使令b=0,步长还是可以大于0.
三个情况放进去,其结果都没能通过精神检查。
他的具体分析错在哪?我没有兴趣仔细看。。
这还只是牛顿力学。。。
* 当然,这个公式也许应该理解成摩擦力必须大于一个阈值,才能步行。根据这个公式,这个阈值量级为 b/h,也就是说身体越宽的,需要越大的摩擦力才能开始行走。
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