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日志

新疆巴音布鲁克的日影- 更为简洁的方程推导

已有 659 次阅读2021-3-27 13:26 |个人分类:科普|系统分类:科技

突然想起之前这个 新疆巴音布鲁克的日影 有更直接的推导。设
太阳位置 [ix](-D \cos\theta, D \sin \theta)[/ix] (D为日地距离);观察者 位置[ix](X, Y)[/ix]; 水面 [ix]y = y(x)[/ix]。

光路从太阳到观察者总长度

[ix]L(x) = \sqrt{(X-x) ^2 + (Y-y)^2} + \sqrt{(-D\cos\theta-x)^2+(D\sin\theta-y)^2}[/ix] 

光路方程,路程为极值  [ix]dL/dx =0[/ix]。

简化第二项 

[ix](-D\cos\theta-x)^2+(D\sin\theta-y)^2 = D^2 - 2D (-x \cos\theta + y\sin\theta) + (x^2+y^2)[/ix]

[ix]\sqrt{D^2 - 2D (-x \cos\theta + y\sin\theta) + (x^2+y^2)} \\ = D \sqrt{1-\frac{2D (-x \cos\theta + y\sin\theta) - (x^2+y^2)}{D^2}}\\ \approx D \sqrt{1-\frac{2D (-x \cos\theta + y\sin\theta)}{D^2}}\\ \approx D - (-x\cos\theta + y \sin\theta)[/ix]

因地球-太阳距离 D 远大于地球局部地形尺寸 x,上面忽略 [ix](x/D)^2[/ix]级的项。

[ix]dL/dx = \cos\theta - \sin\theta \frac{dy}{dx} + \frac{-2(X-x) -2 (Y-y) \frac{dy}{dx}}{2\sqrt{(X-x) ^2 + (Y-y)^2}} =0[/ix]

到这一步,我们的方程还是普遍适用的,带入模型 水面 [ix]y = h \sin (k x)[/ix]

[ix]dL/dx =-\cos\theta +\sin\theta \ h \ k \cos(kx) - \frac{(X-x) + (Y-y) hk\cos(kx)}{\sqrt{(X-x) ^2 + (Y-y)^2}}=0[/ix]

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