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日志

当《流浪地球》的浪漫遇上硬科学物理-抛出整个地壳也不够

热度 1已有 814 次阅读2019-2-19 20:42 |个人分类:科普|系统分类:教育

《流浪地球》中人类利用核聚变能量推动地球,目标是使地球速度达到光速的千分之五,以便能在2500多年内达到比邻星星。科学网的许鹏老师提出了一个质疑,那就是要达到这个速度,地球需要喷射出的质量超过了5公里的地壳厚度。但是中山大学的李淼老师提出了异议,他在就《流浪地球》接受南方日报的采访时说:“还有人吐糟说要把地球加速到光速的0.5%,就算把地球上的石头跟水都用光也无法满足,这个也是不对的,这是他的计算方式有问题,喷射的等离子体的速度远远低于光速就可以达到这个程度。”  从动量守恒,即使不做任何详细计算,要使地球达到光速的千分之五,显然的得至少喷射出地球质量的千分之五。但既然这个显然的问题竟然发生了分歧,我们不妨认真的计算一下。毕竟,物理是一门精确数学化的科学。

《流浪地球》通过喷射使地球加速基本原理与火箭是一样的。由于是利用地球上的燃料,地球损失的质量包括两个部分,一是喷射出去的物质的质量,二是转换为能量的质量,后者可以根据爱因斯坦质能关系计算。

首先,如果喷射速度远低于光速,那么需要喷射出去的质量将会远远大于地球质量的千分之五。在这个情况下,由于地球与喷射物的速度均远低于光速,牛顿力学就可以了。设地球初始质量为 M_0, 抛出的物质速度为 u,抛出物质质量为 m,地球最终速度为 v, 质量为 M_f。根据动量守恒,我们有:

$M_f \ v = m \ u$

根据质量守恒, 我们有: $M_f  +m = M_0$。

因此, $( M_0 - m) \ v = m \ u$。由此得到:$m = \frac{v}{v+u } M_0$ 。

《流浪地球》中地球最终速度为 v= 0.5% 倍光速,如果 喷射速度 u 为 光速的 4.5%,那么  m = 0.5/(0.5+4.5) M_0 。也就是说,地球必须喷射出10% 的质量。我们知道,整个地壳的质量只是地球的 0.42%。因此,如果喷射速度远低于光速,那么喷射掉整个地壳都无法使地球到达光速的千分之五。提高喷射速度可以减少地球需要抛出的质量,但是速度有个极限--那就是光速。

如果喷射速度接近光速,得用相对论了,但地球损失的质量同样也是 v / u 的比例。这是因为 相对论动量等于相对论质量乘以速度。根据动量守恒,喷射物质的相对论动量为地球质量 M 乘以 v, 我们可以计算出喷射物质的相对论质量约为 M v / u 。而地球损失的质量包括喷射物质的相对论质量,因此在喷射接近光速时,不经详细计算,我们也知道地球损失质量为 M v / u 。u最大为逼近光速。具体到《流浪地球》,要使地球达到光速的千分之五,它必须损失至少 千分之五的质量,整个地壳都得抛掉还不够,浪漫的流浪只剩下个活生生的炼狱。

如果不信上面的粗略分析,基于相对论的具体计算如下。下面 M_f , m 均为静止质量, 为简化公式,我们使用自然单位 c =1 (如果不知道什么是自然单位,可以在遇到速度的地方除以光速)

动量守恒:

$\frac{M_f \ v}{\sqrt{1-v^2}}   = \frac{m\ u}{\sqrt{1-u^2}} $

能量守恒 :

$\frac{M_f }{\sqrt{1-v^2}} + \frac{m }{\sqrt{1-u^2}} = M_0$


上面方程组消去左边第一项,我们得到

$\frac{mv} {\sqrt{1-u^2}}+ \frac{mu}{\sqrt{1-u^2}} = M_0 v $

因此,

$m = M_0  \sqrt{1-u^2}\ \frac{v}{v+u}$

$\frac{M_f\ v}{\sqrt{1-v^2}} = M_0 \frac{vu}{v+u}$

$\Delta M = M_0 -M_f =  (1-\frac{\sqrt{1-v^2}\ u}{v+u} )\ M_0 = \frac{v+(1-\sqrt{1-v^2}) \ u}{v+u} M_0$

上面是精确结果。忽略 v^2 项 ,得到地球的质量损失为

$ \Delta M = \frac{v}{v+u} \ M_0   $

这个结果在 v^2 近似度下与牛顿力学的结果相同。对于 v = 0.5%,u =~ 1, 非相对论与相对论计算流浪地球质量损失的差别只有 几十万分之一,喷射出的地球质量为 0.005/(1+0.005) =~ 0.5% (地球质量)。相对论计算的结果再次表明,流浪地球至少得喷射掉全部地壳的质量,再加上部分地幔的质量,才能向比邻星奔去。问题是,整个地壳都没了,人呆哪呢?裸露的地幔能生活吗?地球还能叫地球么?

但上面还只是一个理想的质能转换。但质量转换为能量是有个转换率的,除非是正反物质湮灭。在《流浪地球》中提到的是重核聚变方式,用石头、土壤作为燃料。不要听重核聚变就以为越重越厉害,中国人胆子大。较重的元素聚变成较重的元素时能够释放的能量只有质量的约千分之一。相对而言,轻核如氢聚合成氦,能够将千分之七左右的质量转换成为能量。换言之,7吨石头聚变能够释放的能量才相当于1吨氢聚变。当聚变到铁56的时候,进一步聚变需要消耗能量而不是释放能量,聚变就不能有效继续了。这是因为,核子之间的强相互作用是短距离作用,只有相邻的核子能够作用,因此,原子核的核聚合能正比于核子数量;但是电排斥力是远程的,原子核中质子间的电磁排斥能正比于质子数的平方。原子核到了一定大小,静电排斥力越来越大,超过核子聚合能。这就是元素周期表到一定原子量就中断了的原因。这些应该属于科学常识了。

总之,重核聚变能释放的能量只有“燃料”质量的千分之一。由于我们需要的能量是地球质量的千分之五,千分之五乘以1000等于五。这意味着,我们需要5倍地球的石头进行重核聚变才有足够的能量使地球走上浪漫的旅途。你就是把整个地球聚变成一个大铁球也是不够流浪用的。

教训:当物理直觉不能给人正确的答案时,就应该老老实实地进行计算。


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