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日志

离心力引潮之谬 -- 月球为什么总是一面朝向地球

热度 4已有 1742 次阅读2019-1-17 10:51 |个人分类:科普|系统分类:教育

人造飞行器在月球背面着落的难度在于月球总是一面朝向地球,在背面无法直接与地球进行无线电通讯。最近嫦娥四号成功代表人类首次在月球背面着落,并通过之前发射的中继卫星(注一)传回了月球背面的影像。那么为什么月球总是一面朝向地球呢?这是因为月球在地球引力下会在月-地连线方向拉长。这被称为引潮效应。而这个拉长形状的月球会受到一个力矩使它的长轴转向地球,经过漫长时间的消耗之后,月球最终以一面朝向地球 -- 这叫潮汐锁定(注二)。

earth-moon-2.jpg

地球也会在月球引力下在月-地连线方向拉长。当月球出现在头顶上时,该地海面(或者大湖面)会涨潮,该地的地球背面也会涨潮,这是月球引起的潮汐。这个现象与月球的关联古代中国与希腊就已经发现了。类似的,地球还会在太阳引力下在 日-地方向拉长,这是太阳引起的潮汐。

那么潮汐现象又怎么用牛顿物理解释呢?我在网上看到一个流传很广的视频,里面说原因之一是圆周运动的离心力。以地球上的太阳潮为例,这个解释认为地球绕太阳公转,背对太阳的一面离太阳远,因此离心力大,而面向太阳一面距太阳近,离心力小,这一差别导致地球在日地方向被拉长了。读者脑子里可能出现这么个图像:用一根绳子拴在一个圆盘边上甩圈圈,圆盘在离心力下被拉伸。粗看这似乎合理,但却是错误的。在网上搜索,用离心力解释潮汐见于某美国某官方网站 https://tidesandcurrents.noaa.gov/restles3.html 。可见这是个常见误区。 物理问题的分析依靠物理直觉找到最直接的答案,一旦误入歧途,往往难以自拔。要讲清潮汐的离心力解释为什么错误颇费周折。因此,我先给出潮汐力最直接的物理解释,然后再说明离心力解释的错误。

1. 潮汐的正确解释

在一个球形星体外,我们拿两个小球在不同距离同时从静止释放。两个小球都在星体的引力下向星体中心自由下落。牛顿万有引力定律告诉我们,离星体越远,引力加速度越小,因此那个在下面的小球下落的加速度大,上面小球的加速度则小些,两者距离会随时间而加大。现在假设我们用跟橡皮绳把两个小球连起来,再一起释放,直觉告诉我们绳子会拉长;它的张力一面往上拖住下面的小球,一面向下拉上面的小球,以保持它们用同样的加速度下落。从跟着小球一起下落的观察者角度看来,似乎有一股力量在两头拉着两个小球,拉长它们之间的距离。如下图:

tide-free-fall.png
这就是潮汐力最直接的物理解释。潮汐力的产生不是因为引力。不管引力有多强,在引力中自由运动的物体是感受不到引力本身的 -- 这叫做失重。潮汐力来自引力的变化。不同位置引力不同,不同位置上自由落体受到的引力差体现为潮汐力。一个人在黑洞强大引力中头朝下自由坠落并不感到沉重,但头部和脚部的引力差会让人感到一股强大的拉伸力。

设上图中的星体为地球,A点为月球正对地球表面一点,B点为背对地球的一点,那么A、B两点之间的地球引力差就会体现为一股 AB方向的拉伸力。但在垂直AB连线方向却没有类似的拉伸力,因此月球在地球引力下出现月-地连线方向的拉伸。同理,地球也在月球的引力下自由运动,它绕太阳运行的轨道会因为月球的引力而出现波动。受到月球引潮力影响,地球也会出现月-地连线方向上的拉伸而导致这个方向上涨潮。涨潮高度的具体计算参见我的这篇《潮汐的科普与计算以及 UCLA 徐令予老师这篇《看潮汐奇观,读趣味物理》。两个计算方法的等价性参见《潮汐科普之殊途同归 》。

读者可能会问,上面图中画的是向心自由下落,而实际上月球绕地球是按近乎圆形的轨道运行,两者怎么能类同?牛顿第二定律与牛顿万有引力方程表明:加速度只取决于位置,而不取决于速度大小与方向。月球绕地运行也是自由落体运动 -- 没有一个东西撑着月球,它在空间自由地跟随引力的牵引。

2. 离心力解释潮汐的谬误

上面我给出的潮汐的直接解释是在惯性参照系下进行。对于太阳潮问题的分析,如果使用随着地球绕太阳公转的参照系,则必须在牛顿第二定律方程中引入离心力等虚拟作用。如果物体在转动参照系中有相对运动,还需要加入所谓科里奥利力。在转动参照系下进行 F=ma 计算当然会回复到惯性系的结果。下面,我试图简单说明为什么所谓惯性离心力与潮汐力毫无关系。

tide-sun-earth-half.jpg

在上图中,星体 E 绕星体 S 做圆周运动。从随着转动的非惯性参照系考虑,粗看似乎跟用跟绳子拴着 E 绕 S甩转圈相同,E 被“离心力”甩成扁长形 。但实际上,S的引力用于E上的每一点,相当于E上面的每一点都有根绳子拴着,部分或者全部抵消所谓离心力。在E的中心,离心加速度为角速度平方乘以 R, $\omega^2 \vec{R}$。在P点,离心加速度为 $\omega^2 \vec{R'}$。相对于 E点,P的“离心”加速度正比于 $\vec{R'} - \vec{R} = \vec{r}$。其中 $\vec{r}$是从E的中心到P点的向量。由此可以看出,离心加速度的差异在以E为中心的圆周上大小相同、方向是沿着半径方向向外,其作用是将整个E球在圆周各处向外均匀拉伸,导致它沿着整个圆周鼓起来,而不是导致 E 球在 E-S 方向拉伸,因此离心力并不能造成潮汐现象(注三)。如果我们再假设S的引力大小不随距离而变,则 E 完全不会出现由 S 导致的潮汐。

读者可能疑问,如果E星体没有自转,为什么在绕S的转动参照系里会出现使其鼓起来的力呢?这是因为当我们换到绕S转动的参照系时,E星会反向自转。如上图。这时我们就必须加上一个另一个虚拟的力,称为科里奥利力。稍作计算我们发现,科里奥利力+公转离心力精确提供“虚拟”自转的向心力。无自转情况换到公转参照系,加入两种虚拟力与虚拟自转,效应互相抵消,并不会出现“鼓起”的现象。

如果 E 总是一面锁定朝向 S,在公转参照系里E也就没有运动,科里奥利力为零,只要考虑离心力,这又如何呢?跳出转动参照系一看,这其实是E以公转角速度同时自转的情况,E的圆周“ 鼓起”实际是自转造成。一般 情况下,E不是一面锁定朝向S,那么在绕S转动的参照系里,这时就必须加上科里奥利力。详细的计算会发现这些惯性力并不导致潮汐,而恢复到前面在惯性参照系内分析的简明结果。但是即使不做详细的计算我们也可以看出,E-S连线方向不是科里奥利力的特殊方向,因此也不能构成E-S方向的潮汐力(注四)。

使用公转参照系不但不能简化问题,反而引入离心力、科里奥利力与虚拟自转,然后发现它们精确抵消,把原本清晰的物理图像弄得相当紊乱。在绕S的转动参照系下考虑太阳潮的问题可谓自寻烦恼。

物理是一门精确数学化的科学。牛顿物理问题的分析既可以凭借直觉寻找到最简单的解答,也可以从牛顿第二定律与万有引力定律出发进行耐心的计算。



注一:

由于月球总是用一面朝向地球,在其背向地球的一面着落存在显然的难度,那就是月地通信通信讯号不能直接进行,只能通过一个比月球更远处并且与月球同样周期绕地球运转的卫星进行。如下图:

earth-moon-bridge.png
卫星距地球越远,绕地转的周期越长。如果只考虑地球引力,那么这个轨道上的卫星的周期会大于月球绕地周期,但如果考虑月球对卫星的引力,那么存在一个特殊的L2点,在这个位置上卫星的周期可以正好与月球绕地的周期相同,这样从地球看卫星跟着月球绕地转,总是在月球背面上空,保持与月球背面的通讯畅通。那个绕L2点的轨道称为 HALO轨道。这个轨道早就有人进行了理论计算,提议作为与月球背面通讯的中继卫星轨道。现在终于被中国实现了。

要使中继卫星与月球同步绕地运行,其绕地的角速度必须等于月球绕地球的角速度 $\Omega$。匀速圆周运动的加速度为 角速度的平方乘以半径。 对应的牛二方程为:

$\frac{GM_e}{(R+d)^2} + \frac{GM_m}{d^2} = \Omega^2 (R+d) = \frac{GM_e}{R^3}(R+d)$

其中 M_e 为地球质量,M_m 为月球质量,R 为月-地距离,d 为 月球到L2点的距离,G为引力常数。从这个方程解出 d 就是 L2位置。



注二:

简单的量纲分析发现这个锁定时间正比于星体之间距离的六次方。理论上地球最终也会被太阳潮汐锁定,一面处于永远的黑夜,但计算表明那是一个极为遥远的未来。

注三:

详解如下。在公转参照系中(公转角速度为[ix]\omega[/ix])我们计算P点单位质量受到的引力与离心力。

[ix]\frac{\vec{f}}{m} = \omega^2 \vec{R'} - \frac{GM}{{R'}^3} \vec{R'}[/ix]

M 为 S 质量。我们另有:

[ix] \omega^2 \vec{R} = \frac{GM}{{R}^3} \vec{R}[/ix]

以及

[ix]\vec{R'} = \vec{R} + \vec{r}[/ix]

因此:

[ix]\frac{\vec{f}}{m} = \omega^2 (\vec{R}+\vec{r} )- \frac{GM}{{R'}^3} \vec{R'} = \omega^2 \vec{r} + GM \left(\frac{\vec{R}} {R^3} - \frac{\vec{R'}} {R'^3}\right)[/ix]


如果引力不遵循平方反比律,而是正比于距离....

注四:

设 E绕 S公转的角速度为 [ix]\vec{\omega}[/ix],E星体自转角速度为 [ix]\vec{\Omega}[/ix],则在 绕S公转的转动参照系下,E的自转角速度为 [ix]\vec{\Omega} - \vec{\omega}[/ix]。P点在公转参照系的速度为 [ix](\vec{\Omega} - \vec{\omega}) \times \vec{r}[/ix]。科里奥利加速度为 [ix]2 [ (\vec{\Omega} - \vec{\omega}) \times \vec{r}] \times \vec\omega[/ix]

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