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日志

从水滴砸人到马斯克玩航天

热度 4已有 2253 次阅读2018-2-14 09:19 |个人分类:科普|系统分类:教育

有个寓言故事说【问: 一滴水从很高的地方掉下来会不会砸伤人。大家开始了计算、分析。突然有人问到,你们没有淋过雨吗?听罢,大家沉默了。】沉默的人们内心有两种反应,一种认为这个人睿智,一种认为此人蠢而不才。这也说明了两种思维,一种是狭窄的经验,另一种则是基于基本原理的科学思维。猴子都知道淋雨不会砸伤猴子,但猴子的淋雨经验如果不进行理性的升华将停留在猿的阶段。牛经常看见苹果从树上掉下,牛顿却从苹果落地得出万有引力的基本原理,并据此计算出潮汐的高度、行星的轨道。ELON MUSK 据说曾豪言【学懂物理就能玩转航天】。其 SpaceX 在2017年进行了 18次发射,全部成功。当你看到重鹰的两个助推火箭从高空落下,科幻般精准降落,在SpaceX 如此领先的航天技术面前,那些对MUSK质疑的声音显得苍白无力。

但对MUSK也不要跪拜, 他已经公布了玩转航天的秘笈: 那就是学懂物理。

为什么MUSK的火箭能回收?不是MUSK有什么神奇。水滴砸人的物理就能让 Falcon 9 的第一级火箭平稳着陆。MUSK 没有发现任何新的物理规律,他不过是在运用人类早已知晓的物理知识而已。且让我略作演示。

假设一轴向对称物体横截面积为A,以速度 v 在空气中运行,空气经过该物体后方向角度改变为$\theta$,那么在时间 t 内,空气动量改变为 (为什么?) $d_a A v t v (1-\cos\theta) $,因此物体所受空气阻力为 $ f_a = d_a A v^2 (1-\cos\theta) $ ;$d_a$为空气的密度。这完全是中学物理。可见,物体受到的阻力与其速度平方成正比。当一物体从高处落下,在重力作用下不断加速,重力不变,但是阻力却按速度平方增长;当阻力与重力相等,速度就达到极限,不能再增长了。这个道理,亚里士多德在考虑自由落体时就知道了。要算出这个终极速度都不需要解动力学方程 F = ma,只需要力的平衡。这个条件是 重力=阻力,换言之:

$mg = d_a A v^2 (1-\cos\theta)$,

解出 v ,我们有

$v_{max} =\sqrt{\frac{mg}{d_a A (1-\cos\theta)}}$。

我们假设物体的密度为 $d_o$,形状近似为一个长度为 L的柱状,因此 $m = d_o A L$, 代入上面的公式,我们有

$v_{max} =\sqrt{\frac{d_o A L g}{d_a A (1-\cos\theta)}} = \sqrt{\frac{d_o Lg }{d_a (1-\cos\theta)}}$

以上公式适用于任何物体的下落。即使不代入数字进行计算,我们也立刻发现它解答了很多问题,比如

1) 为什么铁球下落速度大于羽毛 -- 因为铁球比重大;

2)为什么人横着掉下来最终速度小于竖着掉下来 -- 因为横着在运动方向长度短。

下面,我们运用推导出的公式进行一系列运用。

1. 雨滴速度

我们可以代入雨滴数据进行计算,水的比重约为空气的816 倍,雨滴长度约 2 毫米,g=9.8 m/s^2, \theta 设为 30度。我们算出, v_max = $\sqrt {816* 0.002*9.8/(1-\cos\frac{\pi}{6})}$=10.9 m/s 。也就是说这么大的雨滴终极速度为每秒 10 米多,跟人百米冲刺的速度差不多。

这么快的雨滴能伤到人吗?这是另一个从牛二的第一原理的计算的问题。就留给大家做练习了。

2. MUSK的猎鹰火箭第一级从高空摔下的刹车

根据这个网页,Falcon 9第一级主要参数为:长度 47.7 米,直径 3.7 米,空重 25.6 吨,燃料重 395.7 吨。显然,火箭大部分发射重量是燃料,掉下来时燃料消耗殆尽,剩下的重量只是个很小的比例。有了这些数据,我们就可以代入上面的物体坠落公式。首先我们粗略计算第一级落下时的平均密度(先忽略剩余燃料),也就是质量除以体积。

$d_o = 25600/47.7/(3.14* (3.7/2)^2) = 49.9 $ (kg/m^3)


我们发现,第一级火箭空体的平均密度是每立方米 49.9 公斤,而一立方米水有1000公斤。火箭掉下时平均密度只有水的密度的二十分之一,约为空气密度(1.225 kg/立方米)的 40 倍。我们先忽略落下时携带的必备燃料,先看看大概终极速度是多少。 第一级火箭掉下来开始基本是斜着、横着往下掉,因此我们的设公式中的L约为火箭直径两倍多,以8 米计算,且令 \theta 为30度,我们有$v_{max} = \sqrt {49.9/1.225* 8 *9.8/(1-\cos\frac{\pi}{6})} \approx 154 $ (m/s)。这个速度为每小时550公里,比高铁快不了多少,不到音速的一半。可见,虽然第一级火箭分离时速度达到约10倍音速,但掉下来时,由于空气阻力其速度已经降到亚音速。要使亚音速的火箭壳体+引擎完全停下来需要的火箭燃料就是可以掌控的了。动量守恒,火箭要停下来,就得往下喷出高速气体。猎鹰9号火箭发动机喷出的气体速度约 2700米/秒。这个速度是火箭坠下终极速度的17倍左右,因此最终制动刹车需要的燃料约为火箭空重的17分之一,也就是不到2吨。加上中途减速(防烧毁)姿态调整等等,给点富余,估计20吨燃料够了,只有400吨总燃料的5%。当然了,更为详细的计算需要考虑火箭总质量随燃料消耗的变化,需要一点简单的微积分,但数量级差不多。

至于火箭返回时的精确定位不过是 GPS 加上各自自动姿态调控。由于火箭底部的的发动机相对较重,火箭最终姿态调整成垂直是一个稳定状态,也应该是比较容易的。

网上有人称,MUSK说学懂物理就能玩航天是胡说,航天不光是牛顿力学、热力学还涉及很多其他科学领域,材料、电子等等。这些人似乎不明白,这些科学有一个统一的名称: Physical science。通俗的说,它们都是物理学的应用。以半导体物理为例,薛定谔发表其波动方程之后才几天,BLOCH就运用于晶体,一举创立了固体物理的基本框架,半导体可以视为其中一个细节,至于 VLSI 那就是更多的细节了。

1928年,年轻的英国理论物理学家狄拉克找到了一个办法将四个数的平方和开平方,由此写下狄拉克方程。狄拉克去世后,他的方程被刻在了墓碑上,如下图倒数第二行:

这个方程粗看起来跟 F=ma 差不多,右边的 m 也是质量,不过左边有个 i 是虚数。据说,以谦逊著称的狄拉克评论到:“这个方程包括了全部的化学几乎全部的物理” ( all of Chemistry and almost all of Physics)

狄拉克那个英雄年代似乎一去不复返了。MUSK的事迹告诉那些物理学家们,抛开成为下一个爱因斯坦或者狄拉克的梦想,投身到物理的应用中去吧。

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