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日志

中国文明与负数的概念

热度 1已有 3148 次阅读2018-1-9 05:52 |个人分类:科普|系统分类:教育

前些天我在伯克利加大后面的山上放无人机,飞出约两公里,到了那个塔上空约60米处指令机器进行兴趣点环绕飞行,结果无人机拒绝执行指令,说是飞机高度低于50米,一看屏幕显示,目前高度为负100多米。-100 小于50,程序正确,不过飞行器未能判断相对高度。这也没有办法,估计无人机的高度是根据 GPS 数据计算相对起飞点的高度,它虽然能在近距离探测几米外的障碍,却无法在几十米测出相对地面的高度。看到负数,现在小学生都似乎明白。但要知道,负数是古代中国人的发明。西方文明直到18世纪(也就是牛顿之后)还不能接受负数。

现在去看中国股市的显示,如果是涨,显示是红色。这跟西方正好相反,西方跌是红色。这个差别可以追溯到西汉的《九章算术》。东汉刘徽注释写道:“今两算得失相反,要令正负以名之 正算赤,负算黑”。也就是说,古代中国人计算,用红色的算筹表示正数,黑色表示负数,这个传统沿袭至今。《九章算术》是距今2000多年西汉时期的作品,但相关的数学是总结前人的知识。由此可见,中国人知道负数已经有至少两千多年。

西方呢?古希腊数学家是严厉排斥负数的。像 4 x+20 =0 这样的方程,在古代中国人看来其解是 x 等于负5,希腊人却认为这个方程本身是荒谬无解的。虽然阿拉伯人从10世纪开始使用负数,希腊文明基础上的西方数学直到 18世纪却还在认为负数是无稽之谈。1759年,也就是牛顿发表《自然哲学之数学原理》后80年,英国数学家 Francis Maseres 在一篇题为《论代数中的负号》的论文中写道:负数是 “mere nonsense” 。(注一)用现代的语言来说,这位18世纪的英国数学家认为:减号只能用于 binary 操作(像 4-3),作为 unary 算符表示负数是荒诞不经的。

可见负数的概念并不是那么好理解,负数是中国文明的伟大发明。而要理解任何“负”的概念,需要先理解负数的概念。(参见《正能量是中学物理概念》)

 要知道什么是“负”,先要有0。比0还少就是负的。空、无,什么东西都没有,我们可以说能量为0 。如果能量比这个”无”还少,那就是负能量了。

大家都知道爱因斯坦的质能方程 E = M c^2 。为简便起见我们使用自然单位 (c=1)。考虑这个物理问题: 一个静止的质子质量为 mp, 一个静止的电子质量为 me。把一个电子跟质子放在一起组成氢原子,电子绕着质子转,电子具有动能。请问,氢原子能量几何?如果你答  E = mp + me + 电子动能,那对不起,错了。实际上,一个氢原子的质量小于质子质量与电子质量之和。氢原子 总能量 E = mp + me + 电子动能 + 电势能。因为质子与电子的电势能是负的,而且负的绝对值是电子动能的两倍,导致 E  < mp + me。这不是在玩数学游戏,而是可以实验测量的质量差别。

英国数学家 Francis Maseres 也许会说,负能量是 "mere nonsense"。上面应该是加法或者减法,如果是正电+负电就从能量里减去一个数,如果是正电+正电,能量就加一个数。一定要这么思维可能也没有问题,毕竟西方文明到18世纪还没接受负数,也还出现了牛顿这样人物。但没有负数的概念,很多现代生活会有问题。比如说,我借了100块钱、花掉50、口袋里还剩50,我的净资产是多少呢(假设没有别的资产)?50还是负50?现代人都知道是负50 。没有负数就麻烦了 - 可能都无法产生净资产的概念。

有一个宇宙论猜想,那就是宇宙万物来自虚无。虚无的真空能量我们可以任意定义,狄拉克电子海理论称真空能量为负无穷大,电子海里的泡泡是正电子。但是最自然的定义是虚无的能量为零。这只是个定义而已。能量之所以这么意义重大是因为它是守恒的。原来多少能量,之后还是这么多能量。

宇宙如果开始能量是零,那现在我们阳光、空气、水、星系等等这么多能量从哪来的呢?宇宙虚无论里能量凭空产生,不守恒了?

不是。这个理论认为,宇宙能量最初是零,而且永远是零。宇宙所有的正能量被引力的负能量抵消了。读者可能问,这这怎么可能?让我们算算吧。

假设宇宙本来是虚无的,什么都没有, E=0。在某一瞬间突然冒出两个银河系这么重的物体,质量为M,距离为 R,距离远大于物体尺寸。请问系统的总能量是多少?总能量应该是两个星系的质能加上两个星系之间的引力能。能量守恒,所以这个总能量 E 是 0。因此,

E =  M c^2 - G M^2/R = 0

很明显,上面的方程对于任意 M都是有解的。R = G*M /c^2 。代入银河系质量、牛顿万有引力常数、光速,我们得出 R= 7100 亿公里。从这个计算也可以看出,因为引力负能正比于质量平方,而质能正比于质量,无中生有产生的质量越大,距离可以越远。

上面的计算还没有考虑物体自身的引力负能。假设整个宇宙是一个质量为M半径为R的均匀球体,我在这里进行了计算其引力能为 -2/5 G * M^2/R,其爱因斯坦质能为 M c^2。

总能量是  E =  M c^2 - 2/5 G M^2/R  。设总能量 E=0, 我们可以解出宇宙的质量 M= 5/2 R c^2/G。宇宙半径 466 亿光年。代入 光速 c, 引力常数 G,以及宇宙半径,得出宇宙质量  M = 1.5 x 10^54 (kg) 。数量级正确。



注一:“ If any single quantity is marked either with the sign + or the sign − without affecting some other quantity, the mark will have no meaning or significance, thus if it be said that the square of −5, or the product of −5 into −5, is equal to +25, such an assertion must either signify no more than 5 times 5 is equal to 25 without any regard for the signs, or it must be mere nonsense or unintelligible jargon.

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