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日志

加州的太阳为什么这样红

热度 7已有 819 次阅读2017-11-9 09:27 |个人分类:科普|系统分类:教育

前些天在旧金山湾区的同学在大学同学群里发了一张手机照片(见文末附图),傍晚时分,半空中的太阳红得就像一朵玫瑰。当时离这几十公里处正发生森林大火,数千栋房屋烧成灰烬,很多汽车被烧成只剩一个钢架 -- 铝制部分被融化成地上银色的一滩。而此处空气中也弥漫着一股淡淡的烟味。物理系的同学群嘛,当然免不了要讨论自然哲学。加州的太阳为什么这样红呢?


阳光跟白炽灯光一样,是一种热辐射,在人眼可见的频率范围内,它包括了赤橙黄绿青蓝紫各种颜色的光,红色的频率最低、紫色频率最高。阳光从太阳方向射向我们,如果高频率的蓝光与空气中的微粒子作用发生方向偏转(散射),而低频率的红光更能维持原来的方向,那么我们看到的太阳就是橙色或者红色了。而在我们上空,太阳光掠过,红光继续直线前进,也就无法进入我们的眼睛,部分蓝光则被空气散射转向,能够达到我们眼睛,所以我们看到的是蓝天。橙红色的太阳与蓝色的天空都是基于同一个原理,那就是高频率的蓝光更容易被空气中的分子、微粒散射。我们一般来说在清晨才能看到红日,因为这时阳光需要穿过更长距离的空气;上午的太阳就只是带点黄色了。加州大火产生的大量烟雾弥漫在空中无疑加强了散射的效果,形成照片中红日悬在半空的奇异天象。

那么,为什么高频率的可见光更容易被粒子散射呢?

从经典物理的角度看,根据麦克斯维尔电磁理论,光是一种电磁波,当光的电磁波遇到空气中的分子,分子中的电子就会在光的电磁场作用下振动,而振动的电子就像 WIFI天线一样会发射电磁波,这些新发出的电磁波方向并不会都在光原来的方向,而是向各个方向辐射 。带正电的原子核也会在电磁波作用下振动,但原子核比电子重数千倍,基本视为不动,其辐射可以忽略。这是基本的物理图像。接下来就需要定量的分析了。

设光的电场为 E,角频率为 $\omega$,我们首先需要回答的问题是电子在这个电场下振动的幅度与频率大小。这里我们需要用到一个近似,那就是分子内电子本身振动的频率远远大于光波的频率。在这个近似下,我们不需要用牛顿第二定律解方程,用一个类比就知道结果了。假设我们握住一根绷紧的琴弦,缓缓来回拉动,琴弦振动的频率是什么?当然不是抚琴发出的声音,而是我们来回拉动的频率。拉动的幅度呢?因为驱动力的频率远远小于琴弦固有的振动频率,这个缓缓的来回拉动与 静力没有区别,振动的幅度正比于拉力的大小,但与拉动的频率无关。对于那些更愿意看数学方程的人来说,相关 F=ma 方程如下:

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -k\ x + e\ E \ \sin\omega t$

其中 e 为电子的电荷,E 为光的电场, -kx 项为为电子在分子中受到的“弹簧”拉力。大家可以解上面的方程,但我们上面的分析说明,当电子在分子中的固有振动频率 $\sqrt{k/m}$ 远远大于光频率 $\omega$时,电子的振幅就是是外力除以弹性系数 $e \ E /k$ -- 所谓虎克定律,频率就是 $\omega$。

知道了电子的振幅(与光频率无关)以及频率(等于光的频率),现在我们需要计算电子辐射的强度了。全部经典电磁学概括为麦克斯维尔方程组,它给出了电磁场与电荷与电流的关系。当电荷与电流随时间变化时,麦克斯维尔方程可以推出一个结果,粗看与静电荷、静电流没有什么区别,但细看有一个延迟效应 --- 空间一点的电磁场的计算得考虑电磁信号传播的滞后。稍作分析发现,振动电子的电场与其它的正电的电场基本抵消,其辐射来自它产生的电流以及电流产生的磁场。振动电子的电流是一个截面单位时间内电荷的变化,因此电流 I 正比于频率 $I \propto \omega \ \sin (\omega\ t)$,磁场大小又正比于电流。在计算电距离为 r 位置的电磁场计算时,需要把I换成延迟量 $\omega \ \sin [\omega\ (t-r/c)]$,其中 r/c 为电磁信号从电子位置传播到距离 r 处的时间。计算这个正弦函数随空间、时间的变化,我们又得到一个$\omega $因子。最后,我们发现辐射的电场、磁场的大小均正比于 $\omega^2 $,辐射的电磁波功率也就正比于 $\omega^4 $。换言之,在光的作用下,空气中的粒子产生的电磁散射正比于光频的四次方。

蓝光频率约 600 THz, 红光频率约 400 THz。 6/4 的四次方约为5。可见,空气中分子对蓝光散射的程度(称为截面)约为对红光散射的5倍。如果阳光通过空气时遇到足够的粒子,其被散射比例可观,蓝光被散射的比例远大于红光,阳光的颜色就会偏红。

当然了,空气中粒子对可见光的散射程度与粒子本身的属性也有关系。氧气、氮气这样的双原子分子是对称的,散射能力远低于水分子。加州大火产生的烟雾中有着各种极性较强的分子、微粒,其散射能力更强,乃至产生了红日挂在半空的奇景。

以上是用经典电磁理论进行分析。实际上,光是一个个光子,怎么从量子力学解释上面的散射现象呢? 光子与分子的散射作用机制是电子在与光子作用下跃迁到一个高的能级,然后又从高能级掉回,发出新的光子,新光子频率相同,但方向可能与原来的光子不同。这至少有两种可能,一是电子吸收光子,跃升到高能级,然后掉下、发出光子;二是电子先跃升到高能级,同时发出新光子,然后再吸收射入的光子,从高能级掉下。我们用下面的两个图表示,实线代表电子,波线代表光子(角频率为 $\omega$);开始电子处于状态 i ,电子的中间状态为 j,j-i 之间的能量差为 $\Delta E_{ji}= E_{j}- E_{i}$。我们考虑的情况是这个能量差远远大于光子能量的情况,也就是$ \Delta E_{ji} \gg \hbar \omega $ .

rayleigh-scattering-feynman.jpg
读者可能立刻会质疑,上面左边图中,电子先射出光子同时还跃迁到能级 j,这有个能量缺口 $\Delta E_{ji} + \hbar \omega$,这么多能量从何而来?类似地,右边图中光子能量远小于电子能级之间的能量差,电子即使先吸收了光子,也没有有足够能量跃升到 j 态,能量缺口是 $\Delta E_{ji} - \hbar \omega$ 。能量不守恒?

确实如此,在量子力学里,上面的中间态能量是不守恒的,相当于系统可以在很短的时间内借贷能量,然后又还回去,只要保证最初与最后的能量守恒即可。好比是一个资产只有一万元的人借100万,买个豪车开一会,然后又全部还回去,最后资产还是一万,借的越多,能体验的时间越短。根据测不准原理,这个能量借贷时间与能量借贷量的关系是 $\Delta E \ \Delta t > \hbar/2$,中间态时间与能量缺口成反比。把上面两个过程加起来,我们得到发生散射的几率振幅应该正比于

$\frac{1}{\Delta + \hbar \omega} + \frac{1}{\Delta - \hbar \omega} = \frac{2\Delta }{\Delta ^2 -\hbar ^2 \omega^2} \approx \frac{2}{\Delta} [1+ (\frac{\hbar\omega}{\Delta})^2]$

上面方括号里的那个 1 项与频率无关,应该去掉。后面剩下的正比于频率的平方。最终得出上述过程的几率正比于光子频率的四次方。量子力学得到与经典物理相同的定性结果。进一步的详细计算需要使用薛定谔方程。在量子力学中,电磁场是一种规范场,电磁场与电荷之间的最小耦合是 p --> p - qA,也就是将动量加上电荷乘以规范场 A。将没有外电磁场的薛定谔方程中的动量进行这个替换,接下来更多的就是数学计算了。



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发表评论 评论 (3 个评论)

回复 Chi202 2017-11-9 13:21
UFO?  
回复 岳东晓 2017-11-9 15:09
Chi202: UFO?   
怀疑色彩是不是准确
回复 MingHao 2017-11-14 04:17
我心里正在问这个呢,就看见答案了

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