好久没有写科技博文了。因为写科技博文其实不是一件容易的事。写完量子物理的初中代数基础--配平方(1)》中后,后续博文我一直没写,因为感觉写出来好像是在重复书上的内容。一篇博文至少得有点新东西吧。如果仅仅是重复书上有的东西,那读者还不如去 买本书看,一般来说,书上写得还严谨些。昨天终于想到了点新东西。本博文虽然标题说量子物理,但是内容完全是数学。至于这点数学为什么对物理重要是后续需要讲的。所以,现在不要去管物理,只看数学。
在前一篇里,我们推导了如下公式:
∫+∞−∞e−xAxdnx=√πndetA
∫e−xAx+bxdnx=exp(14bA−1b)√πndetA
其中 A 是一个 n x n 的对称矩阵,b 为一个向量,积分上下限为正负无穷。
但在物理中,我们经常需要计算下面这样的积分:
∫xixje−xAxdnx
怎么办呢? 有一个常见的技巧是,将上面第二个积分对 b 取导数:
∫xixje−xAx+bxdnx=∫∂∂bi∂∂bje−xAx+bxdnx=√πndetA∂∂bi∂∂bjexp(14bA−1b)
因为积分变量 x 与 b 无关,积分-微分顺序可以交换。最后令上面的b=0,就会得到我们要的结果。
写开来看得更清楚一点:
∂∂bi∂∂bjexp(14bA−1b)|b=0=∂∂bi∂∂bjexp(14bk A−1kl bl)|b=0=12 A−1ij
上面的步骤目视可见,对b 进行一次微分后,拉下另一个 b。再进行一次微分时,这个拉下的 b 变成 1,剩下的另一半因为含有 b ,在 b=0 时就消失了。1/4 成了 1/2 是因为有两项,一项 xiAijxj, 一项 xjAjixi。这样,我们得到:
∫xixje−xAxdnx=12√πndetA A−1ij
如果要计算下面这样的积分呢?
∫xixjxkxle−xAxdnx
同样的方法,只需要对 b 进行四次偏微分最后令 b=0 即可:
∫xixjxkxle−xAx+bxdnx=∫∂∂bi∂∂bj∂∂bk∂∂ble−xAx+bxdnx=√πndetA∂∂bi∂∂bj∂∂bk∂∂blexp(14bA−1b)
心算一下就知道,上面的结果里会把i,j,k,l 两两组合,出现 (i,j)(k,l), (i,k)(j,l) 与 (i,l) (j,k) 三个组合,最后是
A−1ij A−1kl+A−1ik A−1jl+A−1il A−1jk
注意,上面的 A−1ij 是 A 的逆矩阵的ij 元素,而不是 1Aij。另外,注意,如果有奇数个 x, 这个积分由于对称性为零。
更多个 x 的情况,类似的两两组合就算出结果了。这叫做 WICK 定理,与其说是定理,还不如说是一个快速计算规则。它看似简单,却大有用场。量子物理里的很多计算都要用到。
上面的推导过程基本上是书上的,也是我们学过的。但读者可能想,加入一个 b*x 项,求导数后再令 b 为零,好像兜了一个圈子,巧妙确实巧妙,但为什么不能更为直接地计算呢。直接将那个高斯积分对 Aij 求导,不也生成出 xixj吗?这条路肯定应该是可以的。且让我们来试试吧。
∫xixjexp(−x A x) dnx=−∂∂Aij∫exp(−x A x) dnx=−∂∂Aij√πndetA
摆在面前的问题是,我们需要计算一个矩阵的行列式对其一个矩阵元的偏导数。如果以这个矩阵元所在的行展开,行列式中求和中的一项是这个矩阵元乘以其余子式,而余子式矩阵除以其行列式为逆矩阵。
∂∂AijdetA=adj(A)ji=(A−1)ijdetA
利用这个关系,我们完全不需要加入 bx 项,直接就算出来了。
−∂∂Aij√πndetA=−√πn (−12)(detA)−32∂∂AijdetA=12√πndetA (A−1)ij
这正是上面我们得出的xixj 的结果。可谓殊途同归。但是我们的问题还没完,还得推广到更多变量乘积的情况。
我们有
∫xixjxkxl exp(−x A x) dnx=∂∂Akl[∂∂Aij∫exp(−x A x) dnx]
后面大括号里的我们已经算出来了,为 −√1/detA (A−1)ij,现在的任务仅仅 是把这个结果对 Akl 求导数。detA 求导数我们知道怎么算了,问题是 (A−1)ij 对 Akl 求导数 --- 逆矩阵的一个矩阵元对原矩阵元求偏导,看起来很不简单。但是稍微思考一下,发现有办法。
A−1A=1
所以,
∂A−1 A+A−1 ∂A=0
因此,
∂A−1=−A−1 ∂A A−1
终于看到了曙光!
−∂∂Akl(A−1)ij=(A−1)im ∂Amn∂Akl (A−1)nj=(A−1)im δm,kδn,l (A−1)nj+(A−1)im δm,lδn,k (A−1)nj=(A−1)ik (A−1)lj+(A−1)il (A−1)kj
上面的负号正好跟前面的负号抵消。有了这个结果以及上面行列式求导的结果,相关的计算就是套下面这两个公式了:
∂detA∂Aij=(A−1)ijdetA
−∂ (A−1)ij∂Akl=(A−1)ik (A−1)lj+(A−1)il (A−1)kj
条条道路通罗马。至此,我们没有引入 bx 项作为生成器就得出了WICK 定理的结果。我个人认为,我上面的这个推导更为直接。