用户注册 登录
珍珠湾全球网 返回首页

岳东晓 -- 珍珠湾全球网 ... http://ydx.zzwave.com [收藏] [复制] [分享] [RSS] 岳东晓 -- 珍珠湾全球网

日志

量子物理中的行列式--WICK 定理新证(2)

热度 2已有 1480 次阅读2017-3-24 06:38 |个人分类:科普|系统分类:教育| 行列式

好久没有写科技博文了。因为写科技博文其实不是一件容易的事。写完量子物理的初中代数基础--配平方(1)》中后,后续博文我一直没写,因为感觉写出来好像是在重复书上的内容。一篇博文至少得有点新东西吧。如果仅仅是重复书上有的东西,那读者还不如去 买本书看,一般来说,书上写得还严谨些。昨天终于想到了点新东西。本博文虽然标题说量子物理,但是内容完全是数学。至于这点数学为什么对物理重要是后续需要讲的。所以,现在不要去管物理,只看数学。

在前一篇里,我们推导了如下公式:

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{- x A x } d^{n}x = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$ 

$\int e^{- x A x + bx } d^{n}x =\exp( \frac{1}{4} b A^{-1} b ) \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$ 

其中 A 是一个 n x n 的对称矩阵,b 为一个向量,积分上下限为正负无穷。
但在物理中,我们经常需要计算下面这样的积分:

 $\int x_i x_j e^{- x A x } d^{n}x $ 

 怎么办呢? 有一个常见的技巧是,将上面第二个积分对 b 取导数:

$\int x_i x_j e^{- x A x + bx } d^{n}x = \int \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} e^{- x A x + bx } d^{n}x = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \exp(\frac{1}{4}b A^{-1} b) $

因为积分变量 x 与 b 无关,积分-微分顺序可以交换。最后令上面的b=0,就会得到我们要的结果。

写开来看得更清楚一点:

[ix]\frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \exp(\frac{1}{4}b A^{-1} b) |_{b=0} = \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \exp (\frac{1}{4} b_k \ {A^{-1}}_{kl} \ b_l ) |_{b=0} = \frac{1}{2} \ {A^{-1}}_{ij} [/ix]

上面的步骤目视可见,对b 进行一次微分后,拉下另一个 b。再进行一次微分时,这个拉下的 b 变成 1,剩下的另一半因为含有 b ,在 b=0  时就消失了。1/4 成了 1/2 是因为有两项,一项 $x_i A_{ij} x_j$, 一项 $x_j A_{ji} x_i$。这样,我们得到:

[ix]\int x_i x_j e^{- x A x } d^{n}x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \ {A^{-1}}_{ij} [/ix]

如果要计算下面这样的积分呢?

 $\int x_i x_j x_k x_l e^{- x A x } d^{n}x $ 

同样的方法,只需要对 b 进行四次偏微分最后令 b=0 即可:

$\int x_i x_j x_k x_l e^{- x A x + bx } d^{n}x = \int \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \frac{\partial}{\partial b_k} \frac{\partial}{\partial b_l} e^{- x A x + bx } d^{n}x = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \frac{\partial}{\partial b_k} \frac{\partial}{\partial b_l}\exp(\frac{1}{4} b A^{-1} b )$

心算一下就知道,上面的结果里会把i,j,k,l 两两组合,出现 (i,j)(k,l), (i,k)(j,l) 与 (i,l) (j,k) 三个组合,最后是

$ {A^{-1}}_{ij} \ {A^{-1}}_{kl} + {A^{-1}}_{ik} \ {A^{-1}}_{jl} + {A^{-1}}_{il} \ {A^{-1}}_{jk}$

注意,上面的 ${A^{-1}}_{ij}$ 是 A 的逆矩阵的ij 元素,而不是 $\frac{1}{A_{ij}}$。另外,注意,如果有奇数个 x, 这个积分由于对称性为零。

更多个 x 的情况,类似的两两组合就算出结果了。这叫做 WICK 定理,与其说是定理,还不如说是一个快速计算规则。它看似简单,却大有用场。量子物理里的很多计算都要用到。

上面的推导过程基本上是书上的,也是我们学过的。但读者可能想,加入一个  b*x 项,求导数后再令  b 为零,好像兜了一个圈子,巧妙确实巧妙,但为什么不能更为直接地计算呢。直接将那个高斯积分对 $A_{ij} $ 求导,不也生成出 $x_i x_j$吗?这条路肯定应该是可以的。且让我们来试试吧。

$ \int x_i x_j \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x = - \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \int \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x = - \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$

摆在面前的问题是,我们需要计算一个矩阵的行列式对其一个矩阵元的偏导数。如果以这个矩阵元所在的行展开,行列式中求和中的一项是这个矩阵元乘以其余子式,而余子式矩阵除以其行列式为逆矩阵。

$\frac{\partial}{\partial A_{ij}} \det A = adj(A)_{ji} = (A^{-1})_{ij} \det A$
 
利用这个关系,我们完全不需要加入 bx 项,直接就算出来了。

$- \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} = - \sqrt{\pi^n} \ (-\frac{1}{2}) (\det A) ^{-\frac{3}{2}} \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \det A = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}\ (A^{-1})_{ij} $

这正是上面我们得出的$x_i x_j$ 的结果。可谓殊途同归。但是我们的问题还没完,还得推广到更多变量乘积的情况。

我们有

[ix]\int x_i x_j x_k x_l \ \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x = \frac{\partial}{\partial A_{kl}} \left[ \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \int \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x \right][/ix]

后面大括号里的我们已经算出来了,为  $ -\sqrt{1/\det A}\  (A^{-1})_{ij}$,现在的任务仅仅 是把这个结果对 $A_{kl}$ 求导数。$\det A $ 求导数我们知道怎么算了,问题是 $ (A^{-1})_{ij}$ 对 $A_{kl}$ 求导数 --- 逆矩阵的一个矩阵元对原矩阵元求偏导,看起来很不简单。但是稍微思考一下,发现有办法。

$A^{-1} A = 1$

所以,

$\partial A^{-1} \ A + A^{-1} \ \partial A =0$

因此, 

$\partial A^{-1} = - A^{-1} \ \partial A \ A^{-1} $

终于看到了曙光!

$- \frac{\partial}{\partial A_{kl}} (A^{-1})_{ij} = (A^{-1})_{im} \ \frac{\partial A_{mn} }{\partial A_{kl} }\ (A^{-1} )_{nj} \\ = (A^{-1})_{im} \ \delta_{m,k} \delta_{n,l}\ (A^{-1} )_{nj} + (A^{-1})_{im} \ \delta_{m,l} \delta_{n,k}\ (A^{-1} )_{nj}\\ = (A^{-1})_{ik} \ (A^{-1} )_{lj} + (A^{-1})_{il} \ (A^{-1} )_{kj} $

上面的负号正好跟前面的负号抵消。有了这个结果以及上面行列式求导的结果,相关的计算就是套下面这两个公式了:

$\frac{\partial \det A }{\partial A_{ij}} = (A^{-1})_{ij} \det A$

$- \frac{\partial\ (A^{-1})_{ij}}{\partial A_{kl}} = (A^{-1})_{ik} \ (A^{-1} )_{lj} + (A^{-1})_{il} \ (A^{-1} )_{kj}$

条条道路通罗马。至此,我们没有引入 bx 项作为生成器就得出了WICK 定理的结果。我个人认为,我上面的这个推导更为直接。




路过

鸡蛋
1

鲜花

支持

雷人

难过

搞笑

刚表态过的朋友 (1 人)

 

发表评论 评论 (1 个评论)

回复 Wavelet 2017-4-3 13:51
I am pretty ignorant about physics, leaving alone Quantum Physics... But this math part looks quite neat and is something that I can enjoy quite a bit.

Kudos to science and you!

facelist

您需要登录后才可以评论 登录 | 用户注册

Archiver|手机版|珍珠湾全球网

GMT+8, 2017-10-21 20:16 , Processed in 0.016211 second(s), 9 queries , Apc On.

Powered by Discuz! X2.5

回顶部