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量子物理中的行列式--WICK 定理新证（2）
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好久没有写科技博文了。因为写科技博文其实不是一件容易的事。写完量子物理的初中代数基础--配平方（1）》中后，后续博文我一直没写，因为感觉写出来好像是在重复书上的内容。一篇博文至少得有点新东西吧。如果仅仅是重复书上有的东西，那读者还不如去 买本书看，一般来说，书上写得还严谨些。昨天终于想到了点新东西。本博文虽然标题说量子物理，但是内容完全是数学。至于这点数学为什么对物理重要是后续需要讲的。所以，现在不要去管物理，只看数学。
在前一篇里，我们推导了如下公式：
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{- x A x } d^{n}x = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$
$\int x_i x_j e^{- x A x + bx } d^{n}x = \int \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} e^{- x A x + bx } d^{n}x = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \exp(\frac{1}{4}b A^{-1} b) $
$\int e^{- x A x + bx } d^{n}x =\exp( \frac{1}{4} b A^{-1} b ) \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$
其中 A 是一个 n x n 的对称矩阵，b 为一个向量，积分上下限为正负无穷。
但在物理中，我们经常需要计算下面这样的积分：
$\int x_i x_j e^{- x A x } d^{n}x $
怎么办呢？ 有一个常见的技巧是，将上面第二个积分对 b 取导数:
因为积分变量 x 与 b 无关，积分-微分顺序可以交换。最后令上面的b=0，就会得到我们要的结果。
写开来看得更清楚一点：
[ix]\frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \exp(\frac{1}{4}b A^{-1} b) |_{b=0} = \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \exp (\frac{1}{4} b_k \ {A^{-1}}_{kl} \ b_l ) |_{b=0} = \frac{1}{2} \ {A^{-1}}_{ij} [/ix]
上面的步骤目视可见，对b 进行一次微分后，拉下另一个 b。再进行一次微分时，这个拉下的 b 变成 1，剩下的另一半因为含有 b ，在 b=0 时就消失了。1/4 成了 1/2 是因为有两项，一项 $x_i A_{ij} x_j$, 一项 $x_j A_{ji} x_i$。这样，我们得到：
[ix]\int x_i x_j e^{- x A x } d^{n}x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \ {A^{-1}}_{ij}
[/ix]
如果要计算下面这样的积分呢？
$\int x_i x_j x_k x_l e^{- x A x } d^{n}x $
同样的方法，只需要对 b 进行四次偏微分最后令 b=0 即可：
$\int x_i x_j x_k x_l e^{- x A x + bx } d^{n}x = \int \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \frac{\partial}{\partial b_k} \frac{\partial}{\partial b_l} e^{- x A x + bx } d^{n}x = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \frac{\partial}{\partial b_i} \frac{\partial}{\partial b_j} \frac{\partial}{\partial b_k} \frac{\partial}{\partial b_l}\exp(\frac{1}{4} b A^{-1} b )$
心算一下就知道，上面的结果里会把i,j,k,l 两两组合，出现 （i,j)(k,l), (i,k)(j,l) 与 (i,l) (j,k) 三个组合，最后是
$ {A^{-1}}_{ij} \ {A^{-1}}_{kl} + {A^{-1}}_{ik} \ {A^{-1}}_{jl} + {A^{-1}}_{il} \ {A^{-1}}_{jk}$
注意，上面的 ${A^{-1}}_{ij}$ 是 A 的逆矩阵的ij 元素，而不是 $\frac{1}{A_{ij}}$。另外，注意，如果有奇数个 x, 这个积分由于对称性为零。
更多个 x 的情况，类似的两两组合就算出结果了。这叫做 WICK 定理，与其说是定理，还不如说是一个快速计算规则。它看似简单，却大有用场。量子物理里的很多计算都要用到。
上面的推导过程基本上是书上的，也是我们学过的。但读者可能想，加入一个 b*x 项，求导数后再令 b 为零，好像兜了一个圈子，巧妙确实巧妙，但为什么不能更为直接地计算呢。直接将那个高斯积分对 $A_{ij} $ 求导，不也生成出 $x_i x_j$吗？这条路肯定应该是可以的。且让我们来试试吧。
$ \int x_i x_j \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x = - \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \int \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x = - \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$
摆在面前的问题是，我们需要计算一个矩阵的行列式对其一个矩阵元的偏导数。如果以这个矩阵元所在的行展开，行列式中求和中的一项是这个矩阵元乘以其余子式，而余子式矩阵除以其行列式为逆矩阵。
$\frac{\partial}{\partial A_{ij}} \det A = adj(A)_{ji} = (A^{-1})_{ij} \det A$
利用这个关系，我们完全不需要加入 bx 项，直接就算出来了。
$- \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} = - \sqrt{\pi^n} \ (-\frac{1}{2}) (\det A) ^{-\frac{3}{2}} \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \det A = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}\ (A^{-1})_{ij} $
这正是上面我们得出的$x_i x_j$ 的结果。可谓殊途同归。但是我们的问题还没完，还得推广到更多变量乘积的情况。
我们有
[ix]\int x_i x_j x_k x_l \ \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x = \frac{\partial}{\partial A_{kl}} \left[ \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \int \exp({- x \ A \ x })\ d^{n}x \right][/ix]
后面大括号里的我们已经算出来了，为 $ -\sqrt{1/\det A}\ (A^{-1})_{ij}$，现在的任务仅仅 是把这个结果对 $A_{kl}$ 求导数。$\det A $ 求导数我们知道怎么算了，问题是 $ (A^{-1})_{ij}$ 对 $A_{kl}$ 求导数 --- 逆矩阵的一个矩阵元对原矩阵元求偏导，看起来很不简单。但是稍微思考一下，发现有办法。
$A^{-1} A = 1$
所以，
$\partial A^{-1} \ A + A^{-1} \ \partial A =0$
因此，
$\partial A^{-1} = - A^{-1} \ \partial A \ A^{-1} $
终于看到了曙光！
$- \frac{\partial}{\partial A_{kl}} (A^{-1})_{ij} = (A^{-1})_{im} \ \frac{\partial A_{mn} }{\partial A_{kl} }\ (A^{-1} )_{nj} \\
= (A^{-1})_{im} \ \delta_{m,k} \delta_{n,l}\ (A^{-1} )_{nj} + (A^{-1})_{im} \ \delta_{m,l} \delta_{n,k}\ (A^{-1} )_{nj}\\ = (A^{-1})_{ik} \ (A^{-1} )_{lj} + (A^{-1})_{il} \ (A^{-1} )_{kj} $
上面的负号正好跟前面的负号抵消。有了这个结果以及上面行列式求导的结果，相关的计算就是套下面这两个公式了：
$\frac{\partial \det A }{\partial A_{ij}} = (A^{-1})_{ij} \det A$
$- \frac{\partial\ (A^{-1})_{ij}}{\partial A_{kl}} = (A^{-1})_{ik} \ (A^{-1} )_{lj} + (A^{-1})_{il} \ (A^{-1} )_{kj}$
条条道路通罗马。至此，我们没有引入 bx 项作为生成器就得出了WICK 定理的结果。我个人认为，我上面的这个推导更为直接。
