高楼边的风为什么大?从直观上很好理解,风迎面吹过来被楼挡住了,只能从边上绕过去,原来是一条宽的风道,现在变窄了,风速必须更大才能通过。这是定性的理解,现代科学是数学化的,得有计算才行。在这篇博文里,我讲一下怎么计算出这个优美的速度公式。你会发现非常简单。
首先,我们考虑一个问题。如果在顺着风的方向放一块厚度为零的平板,也就是说平板的平面与风向平行,这个平板对风有没有影响? 答案应该是显然的,没有任何影响。因为没有任何东西在挡风。
现在,我们把风中的圆柱压缩,再压缩,最后压成一块平板,结果如何?对风没有任何影响。如下图
从数学上来说,上面的最左边(圆柱)一个情况跟最右边(平板)是“等价的”,叫做 conformal transformation. 以前我写过一个简单的JAVASCRIPT 对照片进行有趣的变形,就是使用了 conformal 变换。效果如下
类似的变换可以简单解决风绕圆柱流动的速度问题。我们知道在平行风向的一块平板的情况下,风速没有影响,现在我们用一个变换把平板变成圆柱,风的流线也会跟着鼓起来(得绕着走了),那么绕着圆柱的风速就算出来了。如果你觉得这太不可思议,可以回顾一下解析函数的神奇。
所以我们的任务是找一个把圆变成线段的 conformal 变换。
回顾复数的概念:一个单位圆的方程是 [ix]t = e^{i\theta}[/ix]。 要把这个圆变成一条水平线段得把它的虚部消去: [ix]t^\prime = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = t+ 1/t[/ix] 。可见,用变换 [ix]z^\prime = z + 1/z[/ix] 可以把单位圆圆变成水平线段,其中 [ix]z= r e^{i\theta}[/ix] 是用圆心为原点的复数坐标。
这个变换如果明确写出实部与虚部是:
[ix]z^\prime = z + 1/z = z + \frac{z^*}{zz^*} = r e^{i\theta} + e^{-i\theta}/r \\
= (r + 1/r) \cos\theta + i (r-1/r) \sin\theta[/ix]
在圆压扁成线的情况下,风速 v 水平向右,其势为 [ix]U= v \hspace{1mm} x^\prime[/ix] 。
因此,在圆的情况,风速的势为
[ix]U = v (r+1/r) \cos\theta[/ix]
对 r 与角度分别求导即得出武教授博文中的公式:
[ix]v_r= v\hspace{1mm} (1-\frac{1}{r^2}) \cos\theta[/ix]
[ix]v_\theta=\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta}= - v\hspace{1mm} (1+\frac{1}{r^2}) \sin\theta[/ix]
好像我们什么物理没有用,结果把一个小学生都知道的结果变成了圆柱挡风的公式!如下图: