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潮汐的科普与计算（更新）

已有 6673 次阅读2016-7-28 10:20 |系统分类:教育| 中国人, 神舟飞船, 万有引力, 自由落体, 吸尘器

我之前写过几篇潮汐的科普，并且计算了潮汐高度随角度的变化。但这个计算忽略了一项。因此，我重新计算一下。顺便再从概念上讲讲。

古代中国人就知道潮汐主要是由月球引起的。牛顿在发现其运动定律及万有引力之后，对月球和太阳引起的潮汐进行了计算，但据说有错误（由于牛顿的《自然哲学的数学原理》一书只用了简单的几何和代数，其计算非常繁琐，现在很难看清）。在电影《Interstellar》中，浅水出现非常高的潮汐，应该算是过度科普。那么潮汐是怎么引起的呢？

很多人以为月亮在头顶上时，它对地面引力最大，于是把水吸起来了，好像是吸尘器吸篮球上的水一样，但这是一个错误的图像。实际上，地球是一个自由物体，在引力中相当于自由落体，在上面是感觉不到外界（如太阳与月亮）引力的。这跟神舟飞船上的宇航员感觉不到地球引力是同样的道理。但感觉不到引力是一个近似。因为地球引力是不均匀的，宇航员身体不同部分受到的地球引力有细微的差别，如果宇航员头朝地球，头离地球近，头受到的地球引力比脚受到的引力略大，这个力的差别对宇航员来说好像有力在拉伸。这就是所谓潮汐力。由于人的长度远远小于地球轨道半径，这个力差非常微小，人感觉不到。如果人往黑洞里掉，开始也会毫无感觉，自由落体完全失重，但当靠近黑洞中心时，头脚受到引力差很大，或者说潮汐力很大，就会受不了了。

类似的，在月球引力下，地球获得相应的加速度。这个加速度的计算可以把地球看成质量集中于地心的一个点，可以通过月-地的万有引力除以地球质量计算。但是由于面对月球的一面受到的月球引力大些，月球在这一面导致的加速度应该比地心的加速度大，这就造成了涨潮现象。有了这个物理图像，剩下就容易了，我们需要做的是计算月球（或其他天体）在地心的引力与地心外引力的差。

如下图。地心在原点 O，天体质量为 m，x 轴是地心 O 到天体中心 Q 的连线，现在我们计算离地心距离为 r某点A的潮汐力, 角度 <AQO为 [ix]\theta[/ix], 角度 <OAQ 为 [ix]\phi[/ix].

潮汐力 f为 (为看起来方便，输入公式也简单点，我把 G*m 挪到了左边）

[ix]\frac{\vec{f}}{Gm} = \frac{\vec{D} -\vec{r}}{|\vec{D} -\vec{r}|^3} - \frac{1}{D^2} \hat{x} = \frac{1}{D^2 - 2Dr \cos\theta +r^2}(\cos\phi \hat{x} - \sin\phi\hat{y}) - \frac{1}{D^2} \hat{x}[/ix]

因为月地距离 D 远远大于 r，我们近似有

[ix]\sin\phi \approx \frac{r \sin\theta}{D}; \hspace{0.5cm} \cos\phi \approx 1 - \frac{r^2\sin^2\theta}{2D^2} [/ix]

代入上面的公式，我们发现 [ix]1/D^2[/ix] 项抵消了。保留到 [ix]1/D^3[/ix] 项，我们有

[ix]\frac{\vec{f}(\vec{r})}{Gm} =\frac{r}{D^3} \left(2\cos\theta \hat{x} - \sin\theta\hat{y}\right)[/ix]

之前我的计算忽略了上面第二项（ y 方向）。潮汐力计算出来了，怎么计算潮汐高度呢？如果水面达到平衡，那么水面各点的引力势相同，因此，我们以地心为原点，计算潮汐力的势 V ，

[ix] V(\vec{r}) = - \int_0^r \vec{f}\cdot d\vec{r}[/ix]

[ix]\frac{-V(\vec{r})}{Gm} =\frac{r^2}{D^3} \left( \cos^2\theta - \frac{1}{2}\sin^2\theta\right)= \frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right)[/ix]

或者说

[ix]V(\vec{r}) = -Gm\frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right)[/ix]

潮汐高度 H 等于上述势的地表值除以重力加速度，利用 [ix]g = GM_e /R^2[/ix] (M_e 为地球质量）。

[ix]H_{tide}(\vec{R}) = - V(\vec{R})/g = \frac{m R^4}{4M_e D^3} (3\cos 2\theta+1)[/ix] .

其中