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广义相对论中学入门 （1） --- 距离
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我在前面提到，整个现代物理学是基于两个基本原理 （1）作用量原理；（2）规范不变原理。在经典物理中，作用量原理是说系统的变化总是使作用量为极值 （但量子物理里不再是如此，但这是后话）。而规范不变原理我在之前曾经提到过，但其数学化的介绍需要更多的知识，而且在经典物理中较少用到，暂且就不深究了。
什么叫经典物理呢？ 一般来说，所有非量子化的物理统称为经典物理。牛顿力学、电磁理论、广义相对论都是经典物理。称为经典物理并不见得已经过时。在分析宏观现象时，经典物理仍然相当有用。但是在学习经典物理时应该明白其适用范围。经典物理无法推导出量子理论---尽管在量子力学发展的过程中经典物理（特别是分析力学）提供了很大的启示。而量子物理能够推导出经典物理，可以说经典物理是量子物理的特殊情况。
比如说，为什么宏观系统运动总是使作用量最小？ 经典物理中这只是一个公理，好像客观世界有第六感觉，能预知哪条路径作用量最小。但是从量子力学的角度，作用量最小是一个定理，是推导出来的。经典物理是作用量大大超过普朗克常数的情况。
一般讲广义相对论都先学一大堆数学，然后进行一大堆计算，这样往往让人知难而退。而那些科普性的东西又往往是乱打比方，引喻失义，更令人误入歧途。甚至造就很多民科，自以为学懂了物理。
我这里来个单刀直入，争取半个小时让所有文学青年消除对广义相对论的神秘感，而对科学感兴趣的则可以自行学习更细节的内容。
初中几何我们都学了的。那叫着欧几里得几何。其中有一条基本原理：两点之间直线距离最短。其实，我们如果仔细想想，会立刻发现一个问题，两点之间直线距离最短，好，那什么是直线？ 你可能说，两点之间拉根绳子，那就是直线了。但这显然不是一个数学定义，而是木匠的定义。
那我们能否试着把这个“两点之间直线距离最短”倒过来试试： 两点之间距离最短的是直线（段）。
初看起来这很妙，我们总算是把直线的含义给定下来了。可是稍微一拍脑袋，发现一个大问题，“两点之间距离最短的是直线”。距离又是什么？
你可能说，用直尺去量一下，就知道距离了。问题在于，所谓直尺，当然是指边是直线的尺子。这样一来，上面的句子变成“两点之间用直线边的尺量出长度最短的线是直线”。显然，我们开始兜圈子了。
大家都知道勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理），假设一个直角三角形的两个直边长度分别为 x与y ，则斜边长度d的公式为
[ix]d^2 = x^2 + y^2[/ix]
所谓“勾三股斯弦五”，就是说如果x=3, y=4，则d=5。你如果先往东走3米，再往北走4米，则你离开起点的直线距离是[ix]\sqrt{3^2+4^2}=5[/ix]米，所以这个勾股定理也是个距离公式。
从欧几里得开始2000年，人们主要用做构造性（做辅助线）的方法解决几何问题。到17世纪初，笛卡尔引入坐标的概念，使用上述距离公式来解几何问题，结果几何全成了代数运算，一下子变得简单多了，而且很多构造性方法很难解决的问题都毫无困难。这叫做解析几何，中学也学过的。
笛卡尔给我们的启示是，两点之间的距离公式决定了几何。上面的勾股定理式的距离公式就包含了整个欧几里得几何。但欧几里得几何不是唯一可能的几何（注1）。
广义相对论用文字描述就是两句话
1）物质决定了空间的几何（也就是距离公式）；
2）自由物体总是走距离最小的路径。
我们先看第一句是什么意思。它所对应的是一个方程，这个方程右边是物质的分布（及其变化），左边则是与空间几何素质相关的一系列量。解这个方程就可以得到空间的距离公式。用数学的语言来说，我们通过爱因斯坦方程得出度规（metric).
而第二句就似乎很简单了，一旦我们知道了怎么计算距离，剩下就是依照物体走最短路径的原理，来算出其运动路径。这种问题，我们之前提到过：欧拉-拉格朗日方程是通用解决方法。
对于要学习广义相对论的人来说，通过爱因斯坦方程算出度规是个很难的事情，因为方程很复杂。但是值得庆幸的是，正因为其复杂性，我们只知道几种特殊情况的解，更多的是根据这些解（也就是度规）来研究相关的物理问题。比如说，球形天体外空间的度规已经解出来了。你用这个度规就可以研究太阳系行星轨道或者黑洞了。宇宙的度规也有一个解，用这个就可以考察宇宙大爆炸了。所以，要涉猎广义相对论，并不一定要学会怎么解它的方程，你完全可以直接跳到后面的一步。
举例说明，根据爱因斯坦方程，前人已经得出在太阳周围怎么计算距离，而要算出水星或者的轨道，那就是运用这个距离公式与距离最短原理了。
下一集，我们具体讲讲度规 (metric)，并教大家用中学数学进行狭义相对论计算。
注1：并不是所有的几何都必须有距离概念，但是广义相对论的几何是一种包含距离概念的几何。
---未完待续
