光在水下的速度为v1,水上的速度为v2， v1小于v2。从A到B的直线距离最短，但是光在水下跑的距离长，导致时间长，要减少时间，光应该减少在水下跑的距离，这样水下时间减少，但减少水下的距离，在空气中的距离就延长了，时间增加。在某个角度，这个从A到B的总时间最少。

搞清了基本原理，下面就是数学了。通常的做法是，算出光路径的总时间与光出水位置的关系，然后进行微分计算，最后突然发现，这不出现了两个角度的正弦吗？美妙简洁的物理（或者数学）在计算中几乎丢失了。所以，我们试图回归人的本能，加减乘除。

如果你向正上方扔一个球，什么时候球的高度最高？答案是球速度为零的时候。速度为零是什么意思？就是说高度随时间的变化在那一瞬间为0。类似的，在上面的图中，假设最佳出水点为C，那么如果我们把这个出水点做微小的变化到D，ACB与ADB两条路径的差不是正比于CD之间的距离，而是为零。换言之，时间最短的路径附近的路径都差不多，英文称为stationary路径。有了这个概念，确定最佳出水角度就简单了。

当出水点由C变到D，水下的距离增加量为 AD - AC, 水下时间增加了 [ix]\frac{AD-AC}{v_1}[/ix]。

类似的，水上的距离增加量为 DB - CB, 水上时间减少了 [ix]\frac{CB-DB}{v_2}[/ix]。

由于DC很小，[ix]AD - AC \approx DC \sin\theta_1[/ix],

[ix]CB - DB \approx DC \sin\theta_2[/ix]

在时间最短处，两条相邻路径时间差为0，因此  [ix]\frac{DC \sin\theta_1}{v1} = \frac{DC \sin\theta_2}{v2}[/ix]

也就是 [ix]\frac{ \sin\theta_1}{v1} = \frac{\sin\theta_2}{v2}[/ix]

折射率的定义是 [ix]n = c/v[/ix], 也就是说， [ix]n_1 = c/v_1, n_2 = c/v_2[/ix]。

上面的公式成为 [ix] n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2[/ix] 。这就是高中物理学过的折射定理。要计算照相机镜头的焦距，就是要运用这个定理。

中学数学果然简单明了。