牛顿第二定律:
[ix]m \vec{a} = - \frac{GMm }{r^2} \hat{e_r}[/ix], [ix]{e_r} 是径向的单位向量[/ix].
行星从t0到t1, 设时间差很小,则
[ix]\vec{a} = \frac{\vec{v_1}-\vec{v_0} }{t_1-t_0} =- \frac{GM }{r^2} \hat{e_r}[/ix],
因此,[ix]\vec{v_1}-\vec{v_0} =- \frac{GM }{r^2} (t_1-t_0)\hat{e_r}[/ix]
行星绕太阳运动的角速度为[ix]\omega[/ix],根据角动量守恒,我们知道 [ix]\omega r^2[/ix]是一个常数,为简化起见令[ix]\omega r^2 = H[/ix],H为轨道常数,取决于行星运动的初始值。
因此,[ix]t_1-t_0 = \frac{\theta_1-\theta_0}{\omega} = \frac{\theta_1-\theta_0}{H/r^2} = \frac{\theta_1-\theta_0}{H} r^2[/ix]
把这个代入上面,我们有
[ix]\vec{v_1}-\vec{v_0} =- \frac{GM }{r^2} \frac{\theta_1-\theta_0}{H} r^2\hat{e_r} = - \frac{GM}{H} (\theta_1-\theta_0) \hat{e_r}[/ix]
这里出现了一个神奇的事情,这个万有引力的[ix]r^2[/ix]被消去了。在角度变化很小时( [ix]\hat{e_t} [/ix] 为横向向的单位向量--也就是与径向垂直的方向),
[ix]-(\theta_1-\theta_0) \hat{e_r} = \hat{e_t}(\theta_1) - \hat{e_t}(\theta_0) [/ix]
这一点,如果想不清楚,可以画个向量图看看就知道了。因此,
[ix]\vec{v_1}-\vec{v_0} = \frac{GM}{H} (\hat{e_t}(\theta_1) - \hat{e_t}(\theta_0))[/ix]
由此可见,
[ix]\vec{v} = \frac{GM}{H} \hat{e_t}(\theta) +\vec{C}[/ix],其中[ix]\vec{C}[/ix]为常向量。
通过调整坐标轴,我们可以使[ix]\vec{C}[/ix]与 [ix]\vec{r}_{\theta=0}[/ix]垂直,这样我们的计算将相对简化。
用上面的速度计算角动量,我们有
[ix] r = \frac{ H}{ \frac{GM}{H} + C \cos \theta } = \frac{H^2}{GM} \frac{1}{1+ \frac{CH}{GM} \cos\theta}[/ix]