几年前,我写了一篇《飞机为什么能飞起来--信封背面的计算》,引起一帮书呆子的强烈反对,说飞机飞起来《10万个为什么》上有的:伯努利原理,飞机上面路径长,因此风速大,压力低,你不用伯努利原理,概念错误,blah blah。
我原来信封上的计算如图
d: 空气密度
v: 飞机速度
A: 有效机翼面积
t: 机翼与水平面的角度
飞机升力公式为 d * A * v^2 * sin(t)sin(2t)
类似的,我们得出,飞机在水平方向受到的阻力为
d * A * v^2 * sin(t) [1- cos(2t)] = 2*d*A*v^2 * [sin(t)]^3
在飞机平飞时,升力=飞机重量W,也就是
d * A * v^2 * sin(t)sin(2t) = W
在t较小时,sin(t) = t
因此,我们得出 2*d*A*v^2* t^2 = W
t = [W/2dAv^2]^(1/2)
因此,阻力为 W * sqrt(W/2dAv^2)
这里,我重新推导一下,并且计算一下飞机需要的功率与速度的关系,从而为MH370航班的飞行距离提供一定的理论依据。
如上图,飞机相当于一块门板以速度v向左飞行,从飞机的角度,空气以速度v迎面扑来,与机翼角度为[ix]\theta[/ix]遇到机翼、机身发生“弹性反弹”--这个假设相当于假设机翼与空气之间的摩擦力可以忽略----本来水平运动的空气发生向下的转折从图中可以看出"反射”气流与水平线的角度为 [ix]2\theta[/ix],因此,气流经机翼阻碍之后获得的垂直向下动量流为 迎面空气质量流乘以[ix] v \sin (2\theta)[/ix]。而迎面质量流为 空气密度[ix]\rho[/ix]乘以机翼面积A乘以速度v再乘以迎角[ix]\theta[/ix]的正弦:[ix]\rho A v \sin \theta [/ix]。因此,垂直向下的动量流为 [ix]\rho A v \sin \theta \times v \sin (2\theta) = \rho A v^2 \sin\theta\sin (2\theta)[/ix]。根据牛顿第二定律 [ix]F = \frac{dp}{dt} [/ix]。因此,飞机获得的升力就是 [ix]F_L= \rho A v^2 \sin\theta\sin (2\theta)=2\rho Av^2\sin^2\theta\cos \theta[/ix].
空气水平方向的速度原为 v,经机翼之后成为 [ix]v \cos (2\theta)[/ix],因此飞机水平方向受到的阻力为 [ix]F_R = \rho A v\sin\theta [v - v \cos(2\theta)] = 2 \rho A v^2 \sin^3\theta[/ix] 。
飞机平飞时升力等于飞机重量 W,因此,[ix]\rho A v^2 \sin\theta\sin 2\theta = W[/ix]。迎角较小, [ix]\sin \theta \approx \theta[/ix]。因此,[ix]\theta = \sqrt{\frac{W}{2\rho Av^2}}[/ix]。代入飞机阻力公式,得出
[ix]F_R = 2\rho Av^2 \left( \frac{W}{2\rho Av^2} \right)^{3/2} = \sqrt{\frac{W^3}{2\rho Av^2}}[/ix]
飞机推力与阻力相等,因此飞机需要的有效功率为 [ix]P = v F_R = v \sqrt{\frac{W^3}{2\rho Av^2}} = \sqrt{\frac{W^3}{2\rho A}}[/ix]
可见,飞机需要的有效功率与速度无关。
以上的另一个结果非常令人惊奇,飞机需要的功率与空气密度的平方根成反比。换言之,空气密度越小需要的功率越大。
在一万米高度,
空气密度只有海平面的31%,因此,根据我上面的公式,在1万米高度飞行需要的功率要比海平面高 80%。虽然上面的阻力计算过于简化,没有考虑到机身各部分迎角的差异,但定性的结果应该是差不多的,空气密度大需要的有效功率反而小。而我们知道,喷气机在高空飞行油耗更小。但这个油耗不是单位时间,而是单位距离的油耗。
更具体的分析需要考虑喷气发动机效率随高度(空气密度、温度)与飞行速度的变化。