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广义相对论中学入门 （2） --- 间隔
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《广义相对论中学入门 （1） --- 距离》写了有好一阵了，一直没有写第二篇，今天先写第二篇，由欧几里得几何进入狭义相对论。
[ix]s^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2-z_1)^2[/ix]
[ix]s^2 = (x_2-x_1)^2 [/ix]
前面提到，两点之间的距离计算可以根据其坐标进行，在欧几里得几何中，假设两点（笛卡尔）坐标分别为 [ix](x_1,y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)[/ix] ，那么勾股定理告诉我们两点之间的距离s满足下列关系：
假设有另外一个不同的坐标系 ，比如说这个新的坐标系的轴转了一个角度，那么这两点的三个坐标在新的坐标系里不相同，但是两点之间的距离计算还是这个公式（但用到新的坐标值），两点之间的距离也保持不变。如果我们略微思考一下，不变性正是现实的基础。我可以说，invariance is the basis of reality，够传统哲学家们发挥几大本子。从你桌子到门口的距离，不管你怎么测量，都是一样的。假使仅仅是转个角度看，两点之间的距离就变了，我们的面前的所有一切将变得变幻莫测，没有任何的确定性。
上述距离公式可以简化，假设我们把x坐标轴设在两点之间的连线方向，那么两点的y,z坐标都为0。距离公式简化成
或者说，在这个坐标下下，两点之间的距离等于它们坐标值的差的绝对值。由于上面公式两边都平方了，我们也就不必使用绝对值的符号。这是小学数学。在下面，我们都采用这个简化的坐标，两点都在 x 轴上, y,z坐标均为0。
下面让我们引入事件的概念。所谓事件顾名思义不光是有坐标x，而且有时间t。因此，一个事件有两个标记，(时间, 坐标)。比如说，（1937年7月7日某时某分某秒，卢沟桥头）,这就是一个事件; (1945年8月21日某时，芷江县城东的七里桥村磨溪口）是另一个事件。
假如我们考虑两个事件，并使用我们的简化坐标，它们分别是[ix](t_1, x_1)[/ix] 与[ix](t_2, x_2)[/ix] ，问题是这两个事件之间的“距离”s是什么？如果我们说是[ix]x_2-x_1[/ix] 的绝对值，那就是小学数学。如果我们考虑时间因素，就是（狭义）相对论了。狭义相对论里，这两个事件之间的“距离”s 满足如下关系，
[ix]s^2 =c^2(t_2-t_1)^2 -(x_2-x_1)^2 [/ix],
其中c为光速。
为什么两个事件之间的“距离”（以下我们称之为间隔，以便与空间距离区分）是这么计算的呢？ 这当然不是随意乱定的，而是根据自然界的规律。这个距离定义满足我们上面提到的不变性要求。不同的观察者观察这两个事件，所得出的时间与坐标可能都不相同，但是根据这个公式算出的两个事件的间隔却都是相等的。一旦有了距离的定义，空间的几何也就确定了。上面的间隔公式，叫着闵可夫斯基空间。Minkowski空间跟欧几里得空间有个明显的区别，那就是中间有一项是负的。
让我们看一个简单的例子。假设在[ix]t_1[/ix]时间从[ix]x_1[/ix]位置发出一束光，这束光在[ix]t_2[/ix]到达[ix]x_2[/ix]，那么我们算出 [ix] s^2 =c^2(t_2 - t_1)^2 -(x_2-x_1)^2 [/ix]， 但是光是以光速运行，因此上面右边两项相等, [ix]s^2=0[/ix]。因为光速的不变性，另一个运动的观察者得出光从起点到终点的间隔也是0。
下面让我们再看一个例子，假设一个教练在测运动员短跑，开始教练与运动员是在同一位置、坐标,设为0，两人秒表时间都对准为0，运动员以速度v，向前冲去。从运动员自己看，他没有动，而是大地向后动，但时间流逝了[ix]t_y[/ix]。以运动员自身为参照，因为其运动距离为0，其从起点到终点的间隔很容易计算，
[ix]s^2 = c ^2{t_y}^2[/ix]。
在教练看来，运动员从起点到终点的时间为[ix]t_j[/ix], 空间距离为 [ix]v t_j[/ix]，因此教练计算运动员的间隔为 [ix] s^2 =c^2{t_j}^2 -(vt_j)^2 [/ix]。
如上所说，不同的观察者观测两个事件的间隔是相同的，因此，[ix] c ^2{t_y}^2 = c^2{t_j}^2 -(vt_j)^2 = (c^2 - v^2) {t_j}^2[/ix]。通过简单的初一代数，我们得出 [ix] t_y = \sqrt{1-v^2/c^2} t_j[/ix]。
换言之，在运动员看来，他经历的时间[ix]t_y[/ix]比教练经历的时间[ix]t_j[/ix]少，也就是运动员比教练年轻，这叫做钟慢效应。可见生命在于运动，也是有道理的。但由于运动员速度只有10米每秒左右，而光速为每秒3亿米，这个时间差别只有千万亿分之一的量级，远远超过了运动员与教练所用秒表能够测量的精度。
从运动员角度看，运动员飞跑时看到地面以速度v往后退，但他从起点到终点经历的时间是[ix]t_y[/ix]，因此在他跑动时观测到的起点与终点之间的距离是 [ix] vt_y = \sqrt{1-v^2/c^2} v t_j [/ix]，这比教练看到的距离[ix] v t_j[/ix]短。换言之，运动者测出的距离相对于静止者测出的距离缩短了。
由间隔公式可以推导出不同观察者之间的坐标与时间的转换公式，史称洛伦茨变换。但这个细节我们就不深究了。总之，我们获得一个新概念，那就是计算距离时要把时间与空间放在一起考虑，而不是把两者分开。我们平时所说的空间距离实际上是在同一时间两点的间隔。
---今天先写到这
